子供の朝の熱が37.7度であり朝寝してから測ったときは36.6度と微熱だったが何回測っても変わらないし、肌は熱さを感じていないと感じられた場合、会社に朝の時点で病院へ行く必要はあるでしょうか？

その場合、病院へ行く必要はありませんが、子供の体調を密接に注意する必要があります。また、朝から熱が37.7度であるなら、昼前まで温度を定期的に測定して、子供の細かな変化を追う必要があるでしょう。特に、しびれや体のだるみ、下痢、嘔吐などの子供の症状が関連していれば、早急に専門の治療を受ける必要があります。