その実家の近所の病院の院長がネットを使って「院長の残り湯」の販売を開始した際、法的な問題がないか確認しますか？

確認することをお勧めします。販売物の内容や商品の販売に当たる法律や条例、規則などをよく確認してください。また、販売元との間で業務委託契約などを締結する必要がある可能性もあるので、有識者に確認してください。