任天堂イーショップからスプラトゥーン3を数ヶ月前に購入し、カセットなしの状態でダウンロードしたことを確認しましたが、このスイッチは兄弟と共用なのですか？

いいえ、スプラトゥーン3を購入した後も、お持ちのNintendo Switchでダウンロードしてプレイするには、1台のNintendo Switch本体と1つのイーカードが必要です。兄弟で共用する場合は、2台のNintendo Switch本体と2つのイーカードが必要です。