鼻水が1ヶ月ほど続いていて、特に朝に出るのが多いですが、今の時期は花粉を飛ばないと思うのですが、3ヶ月前に同棲を始めてからネコを飼い始めた事が原因でしょうか？

確かにネコを飼い始めたばかりであれば、それが原因の可能性はあります。アレルギー症状（鼻水、くしゃみなど）がある場合は、医師に相談して診断を受けてみることをおすすめします。また、定期的な室内の空気浄化を行ったり、家の中の掃除を行ったりするなど、花粉の症状を緩和する策も検討してみてください。