受けられないかと思っているが、アレルギー性鼻炎で鼻水が出ている場合、無料PCR検査を受けられますか？

いいえ、無料PCR検査は、新型コロナウイルス（COVID-19）の感染状況を検診するものであり、アレルギー性鼻炎に対しては行われません。