iPadでゲームをコントローラーで操作し、かつiPad画面もゲーミングモニターに表示できるかどうかですか？

はい、iPadをコントローラーで操作して、iPadの画面をゲーミングモニターに表示することは可能です。特定のゲームをプレイするためには、専用のハードウェアやソフトウェアが必要となる場合もあります。また、OSやバージョンによっては、使用可能な機能が異なる可能性もあります。