PS3を分配器、キャプチャボード、パソコンに接続してOBSを起動すると1秒ほど映った後、真っ暗になる。他のキャプチャソフトも試してみましたが同様の状況です。

映像が真っ暗になるので、接続の状態を見直します。まず、PS3の機器と分配器、キャプチャボード、パソコン間のケーブルや信号経路を確認します。あとは、ドライバーのアップデートを行い、設定を見直してみてください。また、他のキャプチャソフトにも同様の問題が起きているかを確認し、ハードウェアの設定を変更してみるとよいでしょう。