Switchの冷却ファンがゲームモニターに繋いだ時に異音が鳴り、少し動いたら音が無くなる可能性があると思われます。

確かにその可能性があります。Switchの冷却ファンは、長時間の稼働中に内部の熱量を監視して、必要に応じて回転速度を変更しています。もし、Switchの冷却ファンがゲームモニターに接続されている場合、モニターのシグナルから干渉してしまう可能性があります。お使いのモニターで異音が出ている場合は、別のお使いの機器に冷却ファンを接続してみることをお勧めします。